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同学你好，「效率研究所」本周上线了一门全新的精品讲座《高考数学：解构压轴题》。

这次课程的核心是：帮助你理清「压轴难题」的解构原则、设计一套能够落地执行的训练方案，打破140分的天花板。

——我为这次课程的5节讲解配搭配了超过20,000字的文字版，除了可以收听音频讲解之外、你还可以在每一期课程的音频下方查看与音频讲解对应的全文，希望它们能帮助在听完课程后回顾与复习课程的重点。

今天的推送内容来自这次讲座的第2部分《压轴计算题的公式化简原则》的文字版。

全文共计3,200+字，建议你把将它保存在自己的朋友圈，以便随时回顾和贯彻这篇文章所提供的方法论。

同学你好，我是@Heshawn，欢迎你来到我们的精品课《高考数学瓶颈突破：解构压轴题》，这是我们的第一节课，你也看到了它的标题叫做「祛魅」——这本来是一个由马克斯·韦伯造出来的政治学概念，用来描述19世纪西方世界的宗教势力逐渐消解、国家权力逐渐从神权的笼罩下脱离的过程，具体来说就是人们心理上对宗教神权的神秘性和迷惑性逐渐消解过程，今天我想借这个词来带你重新定位一个关于压轴题的认知角度，听完这节课、你会发现你曾经对于压轴题的认知是有偏见的。

许多老师和学生都认为：压轴题之所以「难」，是由于题目涉及了难以想象的构造技巧、或使用了生僻而不常用的知识点——他们把压轴题贴上了「偏题怪题」的标签，更有一些老师，试图建议学生使用超越考纲的高等数学工具对其进行解答——类似的想法、首先严重违背了高中数学教学和学习的科学性，还给你造成了一种误导：就是它让你认为这些题目和常规的考点就是不一样的，压轴题涉及的考点是在另外一个次元中的，属于更高一级的知识。

其实这就是一种非常刻板的印象。

01

例题分析：解剖一只麻雀

我们来拿一道非常普通的压轴题来向你解释一下你的这个认知到底有什么问题。

我们来分析一下这道题目，你就会发现这道题的难点跟你想象得还不太一样，大家可以看我在笔记纸的左侧划了四个点，一共是四步。

至于我为什么要用Cornell笔记的格式来整理这道题，我推荐你去听一听《高考数学：自我提升方法》那节课程，你会发现这种整理错题的方法会为你的学习效率带来多大程度的提升：

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我们回道这道题目：先看第一步，我的做法是对这个函数求导。

那你为什么会想到「求导」这种操作呢？这就牵涉到了这个《导函数》部分的一个知识点：导数与函数之间有一个对应关系——这个关系是「一个函数的导数的正负就决定要整个函数的增减」，换句话说、导函数的符号是能确定原函数的单调性的——这就跟题目中说到的「单调递增」这个词对应上了。

这就是我之前在《自我提升方法》那次课程中跟大家一直强调「知识是重要的，但是知识点的使用方法、知识的考法是更重要的」，当时我还跟大家举例子说：一提到外接圆你就应该想起来「正弦定理」，对于这道题目，提干条件说这个函数在整个实数范围内单调递增，意味着什么？不就是说导函数恒正吗？所以说，你这个题目中一看到单调，他的第一步就要求导。

当然、在求导的时候，你会发现它的运算过程也并不是非常简单的：这一步的求导不仅涉及到导数的四则混合运算、还有一个链式法则——也就是中间的一项-1/3·sin2x,这是一个典型的复合函数。

等于说这一步，这道题目就考了3个知识点：

1、函数与导函数的对应关系；

2、导数的四则混合运算；

3、复合函数求导的链式法则。

这就牵涉到老师在讲解「不等式」的时候给大家提到的一个关键用法了：不等式的一个重要的证明方法就是将一个不等式的问题转化为函数求最值的问题。比如这里：导函数大于等于0，其实就是说这个东西的最小值要比这个数还要大；

换言之、这道题目在这儿转向成为了「三角函数求最值」的问题——你把这个三角函数的最值给我算出来，因为这个式子的系数含有参量a嘛，所以你算出来的那个最值一定也是和a相关的，那么这个数要大于0，就相当于解一个跟a相关的不等式，这个a的取值范围就定出来的，这个题目要说也就是这么个思路。

但是你不要以为这道题到这儿就结束了，它的下一步计算还蕴含了更多细节，我下面继续把这其中的细节给你掰开揉碎讲清楚。

02

更多细节：进一步的分析

——但如果你听完了之前《万剑归宗十套卷》里的第3讲，你就会知道这种情况下你的策略应该是「优先把x的系数给化统一」，他的次数可以不统一，但是我把它们整体代换成一个二次函数，也就是说我利用y=cox，我把cosx当做整体代换掉，把它给降成一个二次函数，在二次函数上边来解决它的次数问题：

扫码学习 立足一手权威题源，解析最新命题动态也就是说：到这儿、我们的题目又发生了一次转向——这是我们的第二次打转向：你最开始本来以为这是要求参量的取值范围的问题，后来你求了导后发现这是一个三角函数求最值的问题；但是在三角函数化简的过程中你发现化不成标准式，然后你就得把它变成一个二次函数——现在、这道题被归成了「含参量的二次函数在定区间上求最值」的问题；

为什么是定区间呢？因为你这个y=cosx它的取值范围是[ -1 , 1 ]，也就是说，你这个y的取值是[ -1 , 1 ]，这是一个定区间，而你要在这个区间上求的一个最小值，这才是你问题的关键。

所以说你会发现这道题目他是在绕来绕去绕来绕去把你学会的基本上所有的事情都给你整合到一块去了啊。

那么最后、这个关于含参量的二次函数在定义区间上求最值究竟应该怎么求？——这就不是我今天要讲的重点了，实际上你们初中的老师就应该跟你们讲过它的解法，核心是你要判断对称轴与区间的相对位置关系就行，对称轴究竟是在区间中点的左侧还是右侧，这你需要做一个分类讨论，具体的细节我就不在这里展开讲了。

03

这道题目考了哪些知识点？

今天我们这次课的第一节，我就花这么多时间来跟大家讲这道题目的每一个步骤，我是想要跟大家说：你会发现以后你在高考考场上碰到的压轴题都是这种情况——这种题目非常难，非常难得分，但是这些难题的「难」绝对不是在于它用了哪一个特别拐弯抹角的知识点。其实就像我之前刚刚讲的，如果说你现在是一个高三的学生，整个高中知识都学完了，你会发现这道题目中用到的知识点哪一个你没有学到？

导函数的四则混合运算、链式法则、函数与导函数的对应关系、不等式与函数最值的关系、三角函数求最值的化简原则、二次函数在定区间上求最值的基本原理——每一个知识点都是非常自然的内容，如果单独拿出来考察，任何一个普通的学生都能拿到分数:

这是我做了一张整理的图片，你会发现这道题目，我们从头到尾再把它缕一遍的话它用到了什么样的东西呢？

第1步你要导数的运算：导数的运算里边我讲过有初等函数简单初等函数的导数、导数的四则运算、复合导数的链式法则；

第2步你还要知道导数的意义：最主要的是说导数与导函数的关系；

第3步你要知道三角函数求最值怎么求？三角函数方程的简化应该怎么简化？简化的过程当中标准方程的简化有什么原则？就是次数对齐系数对齐，如果说次数和系数不能同时对其的时候有一个特例要转换，把它变成了一个二次函数求最值；

第4步是：二次函数在定区间上求最值有什么样的方法？以及二次函数求最值在含参量的情况下，分类讨论的基本原则是什么？

——这所有的这么多考点，期指一算至少有10个，如果他把它糅合在那一道题目中，这些考点就像一个串联电路，你一个知识点不会，整道题目就崩盘了。

所以这道题目谈到这儿，就引出了我想告诉你的最重要的一个认知。

04

关键认知：高考压轴题难在哪里？

高考的难题，它并不是哪一个知识点非常偏非常怪，你想不到、或者没学会——事实上你会发现每一个东西你都是会的，但是当很多知识点整合在一起时，整个题目的难度系数就会呈指数型增长：一个题目给你1到2个知识点，你会感觉得心应手；5个知识点你就会感觉稍有难度了；如果我给你整合10个知识点在一道题目中呢？你会发现自己的思路就像过山车一样，需要根据具体的情况不停进行重新定向，那么这道题目就会变得非常「复杂」：

我今天跟大家拿着这道题目一步一步拆开，并不是想要跟你讲这个题目本身，我只不过是想跟大家解释一下：高考的压轴题目之所以难、其实并不是他「特殊」，而是因为他「复杂」——而它综合的每一个小的知识点，你都是能理解、并且可以学会的。

如果你楞要理解压轴题的难度在于它的知识点太偏太怪，那你对它的判断从根子上就是错的。所以、压轴题尽管整体上难度很大，但你并不是每一步都不会做、天然就应该直接放弃，你要深刻地意识到：压轴题的每一步用到的那些知识点你都是能学会的，你应该一步一步的，把它全部都理解透彻，下一次的时候也许他不会把相同的这些东西都给你整合到一块，但是它可能换了一些其他的知识重新进行排列组合。

但无论题目用什么知识点组合，每一步所需要的知识都是你常规能够见到、你能够理解的。

这就引出了一个非常重要的训练策略，也是我们这节课的结论：我希望大家在面对那些所谓的难题的时候，不要把他给看成一个整体，你只需把它看成一个一个具体的环节和步骤；不要老想着整体，当你把你的目光从整体收缩到局部的话，你就会发现你手头处理的那一个小环节都是你非常熟悉的已知的知识点，那些都是非常常规的东西，并不是不能解决的难题。

这就是我所谓的「祛魅」：压轴题不是困难的题，而是复杂的题，你要动用一点庖丁解牛的精神，把它每一个部分弄清楚，一切就会变得自然很多。

希望这篇文章能够对你有所帮助。

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