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“用最高效的方法，付出不亚于他人的努力”

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作者｜何帅（@Heshawn）同学你好，我是你的数学老师何帅（@Heshawn），你现在看到的是《十年真题消消乐》这本高考真题集的配套视频。

今天是视频的第4期，我们来讲这本书的第4章和第5章《函数》的核心考点与框架：

如果你没有看过我们这个系列的第1期视频，我强烈建议你赶紧去补课，因为在第1期视频开头，我还详细解释了《十年真题消消乐》这本书的编写逻辑与使用方法：

多说一句：如果你没有购买这本书也不要紧，我可以把这本书完整的预印版电子文稿免费发送给大家，关注老师，在后台私信我「消消乐」三个字，你就能收到它的下载链接：

函数框架

根据中华人民共和国教育部在2020年颁布的最新修订的《普通高中数学课程标准》，这份迄今关于高中教学内容最权威的官方文档在正文第四章第二个主题里明确强调：“函数是贯穿高中数学课程的主线”。因为除了简单初等函数本身，三角函数与解三角形，导数，解析几何这些板块均与「函数」有关联，甚至数列，也只是一种定义域为正整数的函数。既然函数这么重要，那我问问你：“《函数》这一章主要讲了什么内容？”这个问题换个问法：“当我们提到《函数》时，你最先想到的3个词是什么？”如果你脑海中此刻掠过的是“指数函数”、“对数函数”、“幂函数”这种最具体的简单初等函数，那就说明，你对函数的理解，完全不成体系。就像我们在本书第2章讲《数列》时说的那样，数列表面上看好像重点是在讲等差数列和等比数列，但实际上它背后的核心框架是对于同一个数列，递推公式、通项公式和求和公式之间的互相转化。而在这个视角之下，等差与等比数列的作用只不过是作为具体例子，帮助你了解数列的三大公式之间的转化逻辑。函数也一样。事实上如果你仔细回忆高一上学期老师最开始讲解《函数》这个章节的过程，我们绝对不是一开始就讲这些具体函数的。教材一开始讲解的是：函数的基本概念（三要素），以及函数的一些基本性质，其中包括了单调性和对称性。在学习了函数的基本概念与基本性质之后，教材才逐步向大家介绍“指数函数”、“对数函数”、“幂函数”这三大简单初等函数，对吗？而且，你还记得教材是怎样讲解这些具体函数的嘛？老师还是从“定义域 - 值域 - 对应关系 - 单调性 - 对称性”这五个方面带你认识每一个函数的。比如指数函数。教材会告诉你：它的定义域是整个实数域，值域是正实数，而对应关系就变成了我们讲过的指数运算法则；它的单调性由底数与1的大小关系决定，它没有对称性你也可以回忆一下老师是怎么讲解对数函数、二次函数、三次函数、反比例函数以及根号函数的，你会发现我们对所有函数的理解，都离不开函数的「基本概念+基本性质」这个主干。事实上，同学们可以将“函树”想象成一棵真正的“树”，这棵“函树”的主干是三大基本要素与三大基本性质：主干三要素中，最重要的就是我们对函数的定义域分析与值域分析，我们会在这本书的第24讲中谈到函数的定义域和值域的分析方法：接下来，我们会在第25讲谈到函数的对称性分析框架在这里我们不仅会讲到函数的奇偶性，更重要的是大家在做题时一定要注意，我们还扩充了函数的对称性范围，谈论到了函数除y轴之外其他对称轴的表达形式，以及除了原点之外其他对称中心的表达形式。接下来，我们会在第26讲谈到函数的单调性分析原则，并且介绍函数单调性在高考当中的出题标志与相应解法；最后在第27讲，我们还会谈到高中没讲，但其实大家初中就接触过的函数周期性：——之所以高中没有着重强调周期性的概念，但是高考却频繁出现，是因为函数的周期性在高中视角下其实是对称性的一种衍生性质。在你做第27讲时请一定注意：双对称函数有周期性。理解三要素与三性质这个函数主干，对我们分析所有的函数问题都有极大帮助。比如，下面这道高考真题：这道题目即为高考数学《函数》章节的集大成之题。如果同学们缺乏《函数》章节的整体框架认知，就难以充分提取函数f(x)的关键信息。想要解答它，我们就要按照函数的大框架思考：1、它的定义域是什么（这个答案将会影响a-1与2 a^2的取值范围；2、它的奇偶性是什么（这个答案将会影响我们将f(a-1)+f(2a^{2}) 小于等于 0分别移至不等号两后怎样处理负号）；3、它的单调性是什么（这个答案将会影响我们在去掉函数外壳后的不等号方向）。通过对函数性质的整体把握，我们可以讲将 f(a-1)+f(2a^{2})这个核心条件化简为 2a^{2} 小于等于 1-a 这个二次不等式，从而完成对题目条件的分析转化特别地，这道题目关于函数单调性的应用向我们展示了一个重要的模型，即在与函数相关的不等式问题中，面对「f(m)≤f(n)」这种情形，我们可以利用函数单调性，将其函数外壳剥离，从而将两个函数值的不等关系转化为对应自变量之间的额对应关系——这构成了高考数学对「函数单调性」的核心考查方向，我们会在《十年真题消消乐》的第26讲中对这个用法进行详细说明。典型函数在函数主干之上，它的枝叶中有6类我们最关心的常见函数：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、复合函数以及分段函数——它们之间的相互组合，构成了高中数学函数章节的命题抓手。其中三角函数是一个独立的章节，我们在上一期视频当中已经单独做过归纳。在《函数入门》这一章的最后三节，我分别谈到了二次函数、三次函数以及指数与对数函数这三类函数在高考当中的经典考法，它们在《十年真题消消乐》的第28到第30讲。函数图像最后，“函树”的底部还有盘根错节的根系，他们相互缠绕，让我们见到的各种类型的函数成为一个整体，这个根系就是函数的图像高考当中难度最大的函数问题往往涉及复杂的图像分析，需要同学们调动直观想象的数学素养，用数形结合的方式完成图像绘制与分析。函数图像的绘制方法在高中阶段有两种方向，第一种方向是基于对指数、对数、幂函数、三角函数的基本走向的理解，采用的趋势定点法，这部分的操作规范我们会在《函数进阶》这一章的第31讲系统介绍其中三角函数的「五点做图法」就是趋势定点法的一个特例。除了趋势定点，我们还可以利用简单初等函数图像变换的方式一步步获得复杂函数的图像。高中阶段我们常用的图像变换方式有4种：伸缩、平移、对称、翻折。我们将会在第32和第33讲中通过一些具体的例子解释这四种图像变换方式的应用逻辑。在了解了函数图像的绘制方法后，《函数进阶》这个章节的最后两讲，我们会带领大家练习两个高考当中与函数图像密切相关的题型。其中之一，是函数图像的判断框架，大家一定见过很多题目条件给你一个复杂函数，四个选项是四幅图，让你从中选出题目条件所表示的函数图像。我们会在第34讲中对这类问题的解答框架进行系统归纳。函数零点最后，在第35讲中，我们会讲解一个与函数零点分析相关的方法，即从方程的根与图像交点的角度对函数进行零点分析：这个考点是《函数》整章内容的集大成之作，往往出现在高考数学的压轴小题部分。它涉及的数学思想非常简单，但是解题时用到的方法却非常丰富，核心就是需要大家能够画出很多复杂函数的图像，如果你画不出图，那么就很难做出这类题目。所以，大家一定要循序渐进地完成第五章的前4节内容，再来挑战最后一节。好了，这就是《函数》在高考中的核心考点框架。希望他能帮助你用最高效的方法付出不亚于任何他人的努力。我是你的数学老师何帅。下一期，我们来讲高考当中《导数》的高频考点。

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