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00022高等数学(工专(自考试验纲要) 2018版) ) )。

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高等数学（工专）	00022	7	高等数学（工专）自学考试大纲	高等数学（工专）	吴纪桃漆毅	北京大学出版社	版

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注：本目录中的课程单位包括实践环节单位。

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第一章函数

(一)考核知识点

1 .一元函数的定义及其图形。

2 .函数表示法。

3 .函数的一些基本特性。

4 .反函数及其图。

5 .复合函数。

6 .初等函数。

7 .建立简单的函数关系。

(二)自学要求

函数是数学中最基本的概念之一，它从数学上反映了各种实际现象中量与量之间的依赖关系，是微积分的主要研究对象。

本章的总体要求是理解一元函数的定义和函数与图形的关系； 了解函数的一般表示了解函数的一些基本特性了解函数的反函数与它们的图形的关系了解掌握函数复合与分解的基本初等函数和熟悉其图形性态的初等函数是什么； 对于比较简单的实际问题可以建立其中包含的函数关系。

本章重点：函数概念和基本初等函数。

本章维度：函数复合。

(三)审查要求

1 .一元函数的定义及其图形要求达到“领会”水平。

1.1明确一元函数的定义，了解确定函数的两个基本要素——定义域和对应规律，了解什么是函数值域。

1.2阐明函数与其图形的关系。

1.3计算函数在指定点的函数值。

1.4根据函数的解析表达式求出其自然定义域。

2 .函数表示法要求达到“识记”水平。

2.1了解函数的三种表示法——解析法、表示法、图谱法及其各自的特点。

2.2明确分段函数的概念。

3 .函数的某些基本特性要求达到“简单应用”水平。

3.1阐明函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性含义。

3.2判定比较简单的函数是否具有上述特性。

4 .反函数及其图形，要求达到“会得”水平。

4.1了解函数反函数的概念，明确单调函数一定有反函数。

4.2求出比较简单的函数的反函数。

4.3了解函数定义域和值域与其反函数定义域和值域的关系。

4.4阐明函数与其反函数图的关系。

5 .复合函数要求达到“综合应用”水平。

5.1阐明函数复合运算的含义和可复合条件。

5.2求出比较简单的复合函数的定义域。

5.3按一定顺序复合多个函数； 把一个函数分解成几个简单函数的复合。

6 .初等函数，要求达到“简单应用”水平。

6.1了解什么是基本初等函数，熟悉其定义域、基本特性、图形。

6.2了解倒三角函数的主值范围。

6.3知道初等函数的构成。

7 .建立简单的函数关系，要求达到“简单应用”的水平。

7.1可以针对比较简单的实际问题用几何、物理或其他方法建立其中所包含的函数关系。

第二章极限和连续

(一)考核知识点

1 .数列及其极限。

2 .几个级数。

3 .函数极限。

4 .极限算法和两个重要极限。

5 .无限少量及其性质和无限大量。

6 .无限少量的比较。

7 .函数连续性的概念和连续函数的运算。

8 .函数的间断。

9 .闭区间上连续函数的性质。

(二)自学要求

极限理论是微积分学的基础，微积分的基本概念是用极限法描述的，连续函数是使用最广泛的函数，所以学好本章将为今后的学习奠定必要的基础。

本章的总体要求是理解极限和无限少量的概念，并了解它们之间的关系； 熟悉极限算法； 把握无限少量的基本性质明确无限大的概念和无限小的关系可以熟悉运用的两个重要的界限无限少量的比较和理解高阶贫困少量的概念的函数的连续性和理解间断点的初期函数的连续性知道闭区间上的连续函数的基本性质。

本章侧重于“极限和无限少量的概念、极限的算法、两个重要的极限及其应用、函数的连续性”。

本章难点：极限概念。

(三)审查要求

1 .数列及其极限，要求达到“领会”水平。

1.1知道数列的定义、通项及轴上的表示。

1.2知道单调数列和有界数列可以判别比较简单数列的单调性和有界性。

1.3了解数列收敛的含义及其几何意义。

2 .一些级数的基本概念，要求达到“理解”水平。

2.1知道级数的定义，了解级数收敛和发散的概念。

知道2.2级数收敛的必要条件。

2.3判断等比级数的收敛性，收敛时求其和。

3 .要求达到函数极限、“简单应用”水平。

3.1理解各种函数极限的含义及其几何意义。

3.2了解函数的单侧极限，了解函数极限与单侧极限的关系。

4 .极限算法和两个重要极限，要求达到“综合应用”水平。

4.1熟悉极限四则算法，熟练运用。

4.2熟悉并能熟练使用两个重要局限性。

5 .无限量及其性质和无限量，要求达到“简单应用”水平。

5.1理解无限少量的概念。

5.2了解无限量与变量极限的关系。

5.3掌握无限少量的性质。

5.4理解无限大的概念，了解与无限小的关系。

5.5判别比较简单的变量是无限少量还是无限大量。

6 .无限少量的比较要求达到“简单应用”水平。

6.1明确无限少量之间的高阶、同阶、等价意义。

6.2判断两个无限小楼梯的高低或是否等价。

7 .函数连续性和连续函数的运算，要求达到“简单应用”水平。

7.1明确函数的单点连续和单侧连续的定义，了解它们之间的关系。

7.2了解函数的区间连续定义。

7.3连续函数经过四则运算和复合运算都知道是连续函数。

7.4知道单调连续函数一定有单调连续的反函数。

7.5了解初等函数的连续性。

8 .函数的不连续点，要求达到“简单应用”水平。

8.1阐明函数单点间断的定义和两类间断点。

8.2找出函数的两种不连续点。

8.3确定分段函数在分段点上的连续性。

9 .闭区间上连续函数的性质要求达到“领会”水平。

9.1知道闭区间上的连续函数一定是有界的，有最大值和最小值。

9.2了解闭区间上连续函数的特征值定理和零点定理。

9.3利用零点定理，判断指定区间中函数方程根的存在性。

第三章一元函数的导数和微分

(一)考核知识点

1 .导数的定义及其几何意义和物理意义。

2 .平面曲线的切线和法向。

3 .函数可导与连续的关系。

4 .可导函数之和、差、积、商的求导规律。

5 .复合函数的求导规律。

6 .反函数的求导规律。

7 .基本初等函数的导数。

8 .隐函数及其推导规律。

9 .高阶导数。

10 .参数函数的求导规律。

11 .微分的定义。

12 .微分的基本公式和算法。

(二)自学要求

函数敏感的导数和微分是出于求解曲线切线和运动速度等实际问题的需要而建立的，是微分学中最重要的概念，这两个概念密切相关，在科学和工程技术中应用极为广泛。

本章的总体要求是理解导数和微分的定义，明确它们之间的关系； 知道导数的几何意义和作为变化率的实际意义，知道平面曲线的切线方程式和法线方程式的求法，记住理解函数的可导性和连续性的关系的函数的导出的各种法则，特别是掌握复合函数的导出法则的基本初等函数的导出公式，可以使用各种导出法则计算函数的导数掌握阐明高阶导数定义的微分基本公式和算法。

本章重点：导数和微分的定义及其相互关系； 导数的几何意义和作为变化率的实际意义，各种推导规律。

本章：复合函数的求导规律。

(三)审查要求

1 .导数的定义及其几何意义和实际意义，要求达到“理解”水平。

1.1熟悉函数导数和左、右导数的概念，了解它们之间的关系。

1.2了解函数在一点上导数的几何含义。

1.3了解函数作为变化率的实际含义。

1.4知道函数可以区间推导的意义。

2 .平面曲线的切线和法向要求达到“简单应用”层次。

2.1知道曲线一点的切线和法线的定义，求出这些方程式。

3 .函数可导与连续的关系，要求达到“理解”水平。

3.1明确函数在一点上连续是函数在该点上可以导出的必要条件。

4 .导数的和、差、积、商的求导规律，要求达到“综合应用”水平。

4.1能熟练运用导数的和、差、积、商的求导规律。

5 .复合函数的求导规律要求达到“综合应用”水平。

5.1掌握复合函数的求导规律。

5.2对于由多个函数的积、商、幂组成的函数，采用对数导计算其导数。

6 .反函数求导规律要求达到“知识记”水平。

6.1揭示反函数的求导规律。

7 .基本初等函数的导数要求达到“综合应用”水平。

7.1能熟练掌握基本初等函数的求导公式。

8 .隐函数及其推导规律，要求达到“简单应用”水平。

8.1理解由函数方程确定的一元函数(隐函数)的含义。

8.2求解某函数方程确定的隐函数的导数。

9 .高阶导数要求达到“理解”水平。

9.1了解高阶导数的定义，了解二阶导数的物理意义。

9.2求初等函数的二阶导数。

10 .参数函数的求导规律要求达到“简单应用”水平。

10.1理解由参数方程确定的函数的含义。

10.2求出参数函数的一次和二次导数。

11 .微分的定义要求达到“领会”水平。

11.1了解微分为函数增量的线性主元的含义。

11.2明确函数的微分和导数的关系以及函数的可微和可导的关系。

12 .微分基本公式和算法要求达到“简单应用”水平。

12.1熟悉基本初等函数的微分公式。

12.2熟悉可微函数的和、差、积、商及复合函数的微分规律。

12.3求函数的微分。

第四章微分中值定理和导数的应用

(一)考核知识点

1 .微分中值定理。

2 .洛必达定律。

3 .函数单调性的判定。

4 .函数的极值及其求法。

5 .函数的最大值及其应用。

6 .曲线的凹凸性和拐点。

7 .曲线渐近线。

(二)自学要求

本章主要介绍了函数态的研究以及微分学在实际问题中的应用，这些应用的理论基础是微分中值定理。

本章的总体要求是了解微分中值定理； 掌握求各种未定式值的罗必达定律； 理解用导数符号判定导数单调性的函数极值概念，明确掌握其求的函数最大值及其求法，解决简单的应用问题； 了解曲线不平度和拐点的概念后，用函数的二次导数判定曲线不平度，计算拐点坐标，求出曲线水平和垂直渐近线。

本章重点：拉格朗日中值定理； 洛必达定律的应用； 函数单调性的判定； 函数极值、最高值求法的实用化。

本章：应用函数的最高值。

(三)审查要求

1 .对中值定理进行微分，要求达到“领会”水平。

1.1准确地阐述罗尔定理，可以知道其几何意义。

1.2可以准确地阐述拉格朗日中值定理，阐明其几何意义。

1.3我们知道导数总是等于零的函数一定是常数，导数处处相等的两个函数只有一个常数不同。

2 .洛必达定律要求达到“综合应用”水平。

2.1明确了适用洛匹托定律的条件，能熟练使用洛匹托定律计算和类型待定公式的值。

2.2可识别其他类型的待定公式，应用洛匹塔尔定律求其值。

3 .函数单调性的判定要求达到“简单应用”水平。

3.1阐明导数符号与函数单调性的关系。

3.2确定函数的单调区间和判别函数在给定区间的单调性。

3.3用函数的单调性证明一个简单不等式。

4 .函数极值及其求解要求达到“综合应用”水平。

4.1理解函数极值的定义。

4.2了解什么是函数的固定点，揭示函数极值点与固定点和非传导点的关系。

4.3掌握函数在一点取极值的两个充分条件。

4.4求函数的极值。

5 .函数最大值及其应用，要求达到“综合应用”水平。

5.1知道函数大小的定义和极值的区别。

5.2明确最大值的求解方法，可以比较简单地解决求最大值的应用问题。

6 .曲线的凹凸性和拐点，要求达到“简单应用”水平。

6.1在曲线给定的区间内明确“凹”“凸”的定义。

6.2确定曲线的凹凸区间。

6.3知道曲线拐点的定义后，会被要求拐点曲线。

7 .曲线渐近线要求达到“理解”水平。

7.1知道曲线水平和垂直渐近线的定义及其意义，即可求出曲线的这两种渐近线。

第五章一元函数各分学

(一)考核知识点

1 .原函数和不定积分的概念和不定积分的基本性质。

2 .基本积分公式。

3 .不定积分的元积分法。

4 .不定积分的分部积分法。

5 .微分方程的初步。

6 .定积分的概念及其几何意义。

7 .定积分的基本性质和中值定理。

8 .改变上限积分和牛顿—莱布尼茨公式。

9 .定积分的元积分法和分部积分法。

10 .无限异常积分。

11 .定积分的几何应用。

12 .定积分的一些物理应用。

(二)自学要求

一元函数积分学是微积分学的重要组成部分，不定积分可以看作是微分运算的逆运算。 而定积分来源于曲边图形的面积计算和已知物体运动的速度求路程等实际问题，与微积分学一样，积分学也得到了广泛的应用，微分方程的理论和方法与微积分几乎同时发展，并得到了广泛的实际应用。

本章的总体要求是理解原函数和不定积分的概念，明确微分运算和不定积分运算的关系；理解定积分的概念及其几何意义，熟悉不定积分和定积分的基本性质； 了解定积分积分中值定理了解上限积分及其推导公式掌握牛顿-莱布尼茨公式； 牢记基本积分公式熟练掌握不定积分和定积分的元积分法和分部积分法，掌握能够熟练使用它们计算不定积分和定积分的微分方程的基本概念，掌握可分变量微分方程和一阶线性微分方程的解法； 明确无限异常积分的定义，比较简单的情况下根据定义判别其是否收敛，收敛时求其值； 用定积分解决更简单的几何问题和实际问题，理解用定积分处理非均匀整体问题的思想和方法。

本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算； 上限积分求导公式和牛顿-莱布尼茨公式定积分的应用。

本章难点：求不定积分、定积分的应用。

(三)审查要求

1 .原函数和定积分的概念和定积分的基本性质，要求达到“掌握”水平。

1.1分清原函数和不定积分的定义，了解它们的联系和区别。

1.2理解微分运算和不定积分运算是互为逆运算。

1.2熟记不定积分的基本性质。

2 .基本积分公式，要求达到“简单应用”水平。

2.1能熟练掌握基本积分公式。

3 .不定积分的元积分法，要求达到“简单应用”水平。

3.1能够熟练使用第一元积分法(即凑微分法)。

3.2掌握第二种元积分法，了解几种常见的元类型。

3.3求比较简单的有理函数的不定积分。

4 .不定积分分部积分法要求达到“简单应用”水平。

4.1掌握分部积分法，可以很好地用它求出几种常见类型的不定积分。

5 .微分方程初步，要求达到“简单应用”水平。

5.1阐明微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解的含义。

5.2可识别和求解可分离变量的微分方程。

5.3可以识别和求解一阶线性微分方程。

6 .定积分的概念及其几何意义，要求达到“领会”的水平。

6.1理解定积分的概念，理解其几何意义。

6.2揭示定积分与不定积分的区别，知道定积分的值完全依赖于被积函数和积分区间，与积分变量所采用的符号无关。

7 .定积分的基本性质和中值定理，要求达到“领会”水平。

7.1掌握定积分的基本性质。

7.2准确描述定积分中值定理，了解其几何意义，了解连续函数区间均值的概念及其求法。

8 .改变上限积分和牛顿-莱布尼茨公式，要求达到“综合应用”水平。

8.1了解变量上限积分是积分上限的函数，求出其导数。

8.2掌握牛顿—莱布尼茨公式，理解其重要理论意义。

8.3使用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分。

计算8.4分段函数的定积分。

9 .定积分的元积分法和分部积分法，要求达到“简单应用”水平。

9.1掌握定积分的元积分法和分部积分法。

9.2了解对称区间上奇函数或偶函数定积分的性质。

10 .发生无限异常积累，要求达到“简单应用”水平。

10.1阐明无限异常积分的概念及其收敛性。

10.2当被积函数比较简单时，根据定义判断异常积分的收敛性，收敛时求其值。

11 .定积分的几何应用，要求达到“简单应用”水平。

11.1计算直角坐标系下平面图形的面积。

11.2计算回转体的体积。

11.3求曲线的弧长。

12 .定积分的一些物理应用，要求达到“理解”水平。

12.1计算变速直线运动在一定时间区间经历的路程。

12.2计算沿直线段由变量所做的功。

第六章线性代数初步

(一)考核知识点

1 .二、三元线性方程和二、三次行列式。

2 .行列式的性质和计算。

3 .矩阵的概念和矩阵的初等行变换。

4 .三元线性方程的消元解法。

5 .矩阵的运算及其运算规则。

6 .可逆矩阵和逆矩阵。

(二)自学要求

本章介绍了线性方程、行列式和矩阵的最初步的知识，它们广泛应用于科学技术和工程。 本章只论述了低维情况，具体而言，实际上是线性代数中该部分内容的雏形，具有一定的普遍意义。 本章概念多，有很多值计算，必须注意计算的正确性。

本章的总体要求是结合二、三元线性方程组，理解二、三次行列式的定义及其线性方程组的关系； 掌握行列式的基本性质和计算方法了解矩阵的定义和相关概念，掌握矩阵的各种运算和运算规则，明确矩阵乘法运算规则和数运算规则的区别； 知道可逆矩阵逆矩阵的定义及其基本性质，知道求可逆矩阵逆矩阵的线性方程的基本概念，就用克莱姆定律和消元法的矩阵形式求线性方程的解。

本章重点：行列式的性质和计算； 矩阵的各种运算及其运算规则； 求解线性方程组的消元法。

本章：矩阵运算； 求解线性方程组的消元法。

(三)审查要求

1 .二、三线性方程组和二、三次行列式，要求达到“理解”水平。

1.1知道关于线性方程的一些基本概念。

1.2熟悉二、三次行列式的定义。

1.3在一定条件下利用克莱姆定律求解线性方程组。

2 .行列式的性质和计算，要求达到“简单应用”水平。

2.1掌握行列式的各种性质。

2.2掌握行列式的逐行展开。

2.3利用行列式的性质化简化行列式并计算其值。

3 .矩阵的概念和矩阵的初等行变换，要求达到“理解”水平。

3.1知道矩阵的定义和相关概念。

3.2我知道什么是零矩阵和单位矩阵。

3.3揭示矩阵初等行变换的矩阵。

3.4知道什么是最简单的矩阵，就用初等行变换使矩阵成为最简单的矩阵。

4 .三元线性方程组的消元解法，要求达到“简单应用”水平。

4.1知道线性方程初等变换的定义，明确初等变换不改变方程的解。

4.2掌握求解线性方程组的消元法。

4.3知道线性方程可能解不出来，或者有唯一的解，或者有无限的解。

4.4有无限解时，求方程组的一般解。

4.5知道线性方程的系数矩阵和扩展矩阵的概念。 用矩阵的初等矩阵变换使线性方程组的扩展矩阵化成为最简单形式的方法可以求出方程组的解。

5 .矩阵运算和春季运算规则，要求达到“简单应用”水平。

5.1掌握矩阵的加法和平方矩阵运算及其运算规律。

5.2掌握矩阵的乘法及其运算规律。

5.3掌握矩阵倒排及相关运算规则。

5.4明确矩阵运算规则与数运算规则的异同。

6 .可逆矩阵和逆矩阵要求达到“领会”的水平。

6.1明确方阵行列式的定义和方阵积相关行列式的结果。

6.2知道方阵的定义和有关结果。

6.3明确可逆矩阵和逆矩阵的定义和矩阵可逆的条件，了解可逆矩阵的基本性质。

6.4利用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵。

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